Persamaan Diferensial Clairaut

Persamaan Diferensial Clairaut merupakan Persamaan Diferensial Linier Orde 1 dengan bentuk umum:

$y=px+f (p) $ dimana $p=dy/dx $.

Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap x maka diperoleh:

$dy/dx = p + x \frac{dp}{dx}+f'(p) \frac{dp}{dx}$$ atau $$(x+f'(p)) \frac{dp}{dx}=0$

Persamaan tersebut dipenuhi jika $\frac{dp}{dx}=0$ atau $x+f(p)=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$ maka diperoleh $p=k$. Eliminasi p dari bentuk umum, maka diperoleh penyelesaian umum:

$$y=kx+f(k)$$

Persamaan-persamaan ini merupakan kumpulan garis-garis lurus.

Selanjutnya eliminasi p dari:

$x+f(p)=0$ dan $y=px+f(p)$

maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan $y=px+p^2$

Penyelesaian:

$y=px+p^2$ diturunkan terhadap x diperoleh $dy/dx = p+x \frac{dp}{dx}+2p \frac{dp}{dx}$ atau $(x+2p)\frac{dp}{dx}=0$.

Persamaan terakhir ini dipenuhi jika $(x+2p)=0$ atau $\frac{dp}{dx}=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$, diperoleh p=k.

Dengan mengeliminasi p dari persamaan awal dengan menggunakan p=k maka diperoleh penyelesaian umum $y=kx+k^2$.

Dari $x+2p=0$, diperoleh $p=- \frac{x}{2}$.

Selanjutnya dari $p=- \frac{x}{2}$, eliminasi p dari persamaan awal maka diperoleh penyelesaian singular $$\begin{align} y &= - \frac{x}{2}. x + (- \frac{x}{2})^2 \\ &= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \\ &= - \frac{x^2}{4} \end{align} $$

Plot $y=- \frac{x^2}{4}$ untuk x=-2 ke x=2

Demikian tentang Persamaan Diferensial Clairaut, semoga bermanfaat.