Persamaan Diferensial Tak Eksak

Persamaan Diferensial Tak Eksak - Persamaan Diferensial Tak Eksak merupakan pembahasan kita yang terakhir untuk persamaan diferensial orde 1.

Sebelumnya kita telah membahas Persamaan Diferensial Eksak.

Jika diberikan persamaan diferensial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, apabila $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$ maka persamaan diferensial tersebut persamaan diferensial Eksak,

sedangkan jika $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ maka persamaan diferensial Tak Eksak.

Persamaan diferensial Tak Eksak seringkali bisa diubah ke persamaan diferensial Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.

Teorema Persamaan Diferensial Eksak

1. Jika $\frac{1}{N} (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$ adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka $e^{ \int f(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
2. Jika $\frac{1}{M} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ adalah suatu fungsi dari y saja, katakan g(x), maka $e^{ \int g(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.

Bukti

1. Berdasarkan hipotesis, jika p(x) adalah faktor pengintegralan yang tergantung pada variabel x saja maka $p(x)M(x,y) \ dx + p(x) N(x,y) \ dy =0$ adalah diferensial eksak. Dipunyai syarat perlu $\frac{\partial}{\partial y}(pM)= \frac{\partial}{\partial x}(pN) $ $\Rightarrow $ $p \frac{\partial M}{\partial y} = p \frac{\partial N}{\partial x}+N \frac{\partial p}{\partial x} $ akhirnya diperoleh $\frac{\partial p}{\partial x} = p \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})=p(x)f(x) $ yang mempunyai suatu penyelesaian umum $p(x) = e^{\int f(x) \ dx} $ 
2. Analog dengan pembuktian 1.

Contoh Persamaan Diferensial

Selesaikan persamaan diferensial $(3x^2y + 2xy+y^3) \ dx+ (x^2+y^2) \ dy=0$

Penyelesaian:

$M=3x^2y+2xy+y^3 \Rightarrow M_y=3x^2+2x+3y^2$

$N=x^2+y^2 \Rightarrow N_x=2x$

Karena $\frac{M_y-N_x}{N}=3$ merupakan fungsi x saja, maka $p(x)=e^{\int 3 \ dx}=e^{3x}$ merupakan faktor pengintegralan.

Akibatnya, $e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)dx+e^{3x}(x^2+y^2)dy=0$ adalah Persamaan Diferensial Eksak.

Diambil fungsi diferensialnya adalah u(x,y) dengan:

• $\frac{\partial u}{\partial x} = M_2(x,y) = e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)$
• $\frac{\partial u}{\partial y} = N_2(x,y) = e^{3x}(x^2+y^2)$

$\begin{align} u(x,y) &= \int N_2(x,y) \ dy \\ &=  \int e^{3x}(x^2+y^2)  \ dy \\ &= e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3}) + k(x) \end{align} $

Dengan memperhatikan kesamaan $\frac{\partial u}{\partial x} = e^{3x}(2xy+3x^2y+y^3)+k'(x)=M_2(x,y) $, maka diperoleh $k'(x)=0 \rightarrow  k(x)=c $.

Jadi, solusi umum persamaan diferensial awal adalah $u(x,y)=e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3})=k $

Demikian tentang Persamaan Diferensial Tak Eksak, semoga bermanfaat.