Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan Diferensial Homogen - Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari persamaan diferensial orde 1 dengan variabel terpisah yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi secara langsung.

Buka pembahasan Persamaan Diferensial Metode Integrasi

Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari secara khusus keberadaan suatu persamaan diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan.

Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial homogen.

Pengertian Persamaan Diferensial Homogen

Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika $F( \lambda x, \lambda y)= \lambda ^n F(x,y)$.

Jika diberikan persamaan diferensial dengan $M(x,y) \ dx + N(x,y) \ dy=0 \\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} $ disebut persamaan diferensial dengan koefisien homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.

Karena persamaan diferensial homogen maka:

$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} \\ &= - \frac{(\frac{1}{x})^nM(\frac{1}{x}.x, \frac{y}{x})}{(\frac{1}{x})^nN(\frac{1}{x}.x, \frac{y} {x})} \\ &= - \frac{x^{-n}M(1, \frac{y}{x})}{x^{-n}N(1, \frac{y}{x})} \\ &= \frac{M(1, \frac{y}{x})}{N(1, \frac{y}{x})} \\ \frac{dy}{dx} &= f(\frac{y}{x}) \end{align} $

sehingga digunakan transformasi $y=ux$ atau

jika $\frac{dy}{dx} = - \frac{y^n}{y^n} \frac{M( \frac{x}{y}, 1)}{N(\frac{x}{y},1)} $ digunakan transformasi $x=vy $.

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan $2x \ dy - 2y \ dx = \sqrt{x^2+4y^2} \ dx $

Penyelesaian:

Kita ubah bentuknya menjadi $M \ dx + N \ dy=0$, hasilnya sebagai berikut.

$(\sqrt{x^2+4y^2} + 2y) \ dx - 2x \ dy=0$

Maka diketahui:

$M = \sqrt{x^2+4y^2} + 2y$ dan $N= -2x $

Kita periksa apakah homogen.

(Diberikan kepada pembaca untuk menunjukannya)

Karena persamaan diferensial homogen, gunakan transformasi $y=ux $ atau $x=vy $.

Misal gunakan $y=ux $ dimana $\frac{dy}{dx} = x \ du+ u \ dx $

Maka hasil transformasinya menjadi persamaan berikut ini.

$ \frac{1}{x} \ dx - \frac{2}{\sqrt{1+4u^2}} \ du=0$

Dengan mengintegralkan diperoleh:

$1+4kux -k^2x^2=0$ (k bilangan konstan)

Kita ganti u dengan $ \frac{y}{x} $.

Jadi, solusi umumnya adalah $1+4ky - k^2x^2=0$

Demikian tentang Persamaan Diferensial Homogen, semoga bermanfaat.