Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan Diferensial Bernoulli - Persamaan Diferensial Bernoulli memiliki bentuk umum sebagai berikut.

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n \ \ ; \ n \neq 0$$

Untuk $n \neq 1$, kita dapat mentransformasi bentuk tersebut menjadi Persamaan Diferensial Orde 1 dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1} $.

Dari sini diketahui:

$$\frac{dz}{dx}=(-n+1)y^{-n} \frac{dy}{dx} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^n}{1-n} \frac{dz}{dx} $$

Jika $\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n$ dikalikan dengan $(1-n)y^{-n} $ maka diperoleh:

$$\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)r(x) $$

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan persamaan $2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2$

Penyelesaian:

Untuk memperjelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam Persamaan Diferensial Bernoulli, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$$ \begin{align} & 2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x} y = \frac{x}{2} y^{-1} \end{align} $$

Dari bentuk terakhir di atas, diketahui $p(x)=- \frac{1}{2x} $, $ r (x)= \frac{x}{2}$ dan $n=-1$.

Dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1}=y^{-(-1)+1}=y^2$ dan mengalikan $(1-n)y^{-n+1}=2y^2$ di kedua ruas PD Bernoulli di atas, maka diperoleh:

$$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z &=(1-n)r(x) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+(1-(-1))(- \frac{1}{2x})z &=(1-(-1)) \frac{x}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+2(- \frac{1}{2x})z &=2 ( \frac{x}{2}) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z &= x \end{align}$$

Bentuk terakhir ini adalah Persamaan Diferensial linier orde 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Orde 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int - \frac{1}{x}  \ dx} &= e^{-ln(x)} \\ &= e^{ln (x^{-1})} \\ &= x^{-1} \\ &= \frac{1}{x} \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x} z=x$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{ \frac{1}{x}}( \int x( \frac{1}{x}) \ dx)  \\ &= x ( \int 1 \ dx) \\ &= x (x+k) \\ &= x^2+kx \end{align} $

Jadi,

$y^2=x^2+kx \Leftrightarrow y= \sqrt{x^2+kx} $

Demikian Persamaan Diferensial Bernoulli, semoga bermanfaat.